第39讲：《傅里叶级数及其收敛性》内容小结、课件与典型例题与练习

一、傅里叶级数相关的基本概念

设有两列实数 ，称形如

的函数项级数为三角级数，称 为此三角级数的系数．该三角级数由下列三角函数系组成

该三角函数系的函数都为周期为 的周期函数. 在一个周期内，该三角函数系具有 “正交性”：在一个周期上，除1外，两个相同函数的乘积的定积分为 ；两个不同函数的定积分为 . 即

其中 均为非负整数．

【注】 以上结果可以直接应用于相应三角函数积分的计算.

二、周期为 的函数的傅里叶级数展开

第一步：计算傅里叶系数

根据周期函数的定积分性质，由以下公式计算函数 在任意区间长度为   的区间上的定积分. 一般取为直接定义函数的一个周期区间求积分. 常取为 ，即

第二步：以傅里叶系数为系数，写出三角级数

【注1】 在将函数展开为傅里叶级数时，最好先画出其图形，这样容易看出其奇偶性及间断点，从而便于计算系数和写出收敛域和和函数.

【注2】 在计算傅里叶系数时，一般对于 单独计算，如果在使用通用公式计算的过程中，通项公式中有 值使得通项公式无意义，则对于这样的 值对应的系数也应该单独计算.

第三步：基于狄利克雷收敛定理判定傅里叶级数的收敛性

狄利克雷收敛定理：周期为 的周期函数 在一个周期上分段连续，并且在一个周期上只有有限个极值点和有限个第一类间断点，则函数f(x)的傅立叶级数收敛，并且有

其中 和 分别为函数 在点 处的右极限与左极限．即在连续点处傅里叶级数收敛于函数本身 ；在间断点处收敛于该点左、右极限的算术平均值．

【注】 写函数的傅里叶级数的和函数并不需要求函数的傅里叶级数. 也就是说在写傅里叶级数之前，可以先写它的和函数表达式.

第四步：函数展开成傅里叶级数

依据定理得到和函数等于被展开函数 的集合 ，最终写出附带集合 的等式

【注1】 在收敛于 的点，称函数 可以展开成傅里叶级数，即有

所以将函数展开成傅里叶级数必须是等式并且附带连续点描述的集合.

【注2】 特别注意对应傅里叶级数的和函数与被展开函数的区别与联系！

【注3】 傅立叶级数的部分和有很好的整体逼近性质，幂级数的局部逼近性质比较好．幂级数展开需要函数有很好的“光滑性”，傅里叶级数对“光滑性”的要求较低．

【注4】 如果函数为奇函数，则函数的傅里叶级数仅仅包含正弦项，则这样傅里叶级数称之为正弦级数，此时只需要计算傅里叶级数系数 ；如果函数为偶函数，则函数的傅里叶级数仅仅包含余弦项和常数项，则这样傅里叶级数称之为余弦级数，此时只需要计算傅里叶级数系数 .

三、定义域区间长度为2π的函数的傅里叶级数展开

第一步：函数周期延拓.

设f(x)的定义域为 或 ，，，则对于该函数可以通过图形平移复制的方式将函数延拓为周期 的周期函数，即在函数 的定义域内定义函数为 ，在其它范围内定义 ，由此可得周期函数的描述形式为

第二步：依据以下公式计算函数的傅里叶系数第三步：以傅里叶系数为系数，写出傅里叶级数

第四步：根据狄利克雷收敛定理，判断函数在区间 上的收敛性，写出在区间 上的傅里叶级数的和函数 。尤其注意考察区间内的间断点和区间端点的收敛性，得到和函数等于被展开函数 的集合 ，并写出如下表达式

四、定义域区间长度为 的函数的傅里叶级数展开

设 f (x) 的定义域为 或 ，，，对于该函数可以首先将其延拓为区间长度为 定义域上的函数，然后再将其延拓为周期 的周期函数进行傅里叶级数展开. 对于这样的函数，将其展开为傅里叶级数的方式主要有三个，分别展开为正弦级数、展开为余弦级数和展开为一般级数.

1、展开为正弦级数

第一步：函数的奇延拓. 记 为 原点对称区间，定义函数关于原点对称区间-I上的函数

即有

则 为奇函数.

第二步：函数的周期延拓. 利用如下方式，将函数 延拓为周期 的函数.

第三步：计算函数的傅里叶系数. 由于函数 为奇函数，所以只要计算系数 ，即

第四步：写出傅里叶级数

第五步：根据狄利克雷收敛定理，判断函数在区间 上的收敛性，写出在区间 上的和函数，并得到和函数等于被展开函数的区间 ，于是有

2、展开为余弦级数

第一步：函数的偶延拓. 记 为 原点对称区间，定义函数关于原点对称区间 上的函数

即有

则 为偶函数.

第二步：函数的周期延拓利用如下方式，将函数 延拓为周期 的函数.

第三步：计算函数的傅里叶系数. 由于函数 为偶函数，所以只要计算系数 ，即

第四步：写出傅里叶级数

第五步：根据狄利克雷收敛定理，判断函数在区间 上的收敛性，写出在区间 上的和函数，并得到和函数等于被展开函数的区间 ，于是有

3、展开为一般级数

第一步：定义对称区间上的一般函数. 记 为 原点对称区间，定义函数为

其中 为任意满足收敛条件的函数，根据需要选取，比如可以选取为连接端点的常值函数.

第二步：函数的周期延拓. 利用如下方式，将函数 延拓为周期 的函数

第三步：计算函数的傅里叶系数. 由傅里叶系数计算公式，计算系数 ，即

第四步：写出傅里叶级数

第五步：根据狄利克雷收敛定理，判断函数在区间 上的收敛性，写出在区间 上的和函数，并得到和函数等于被展开函数的区间 ，于是有

【注1】 以上函数定义区间长度为 或   的函数展开为周期为   的傅里叶级数的奇延拓、偶延拓与周期延拓，在实际的计算过程中，除了补充定义拓定义区间为   并展开为一般傅里叶级数之外，一般只需要加上描述性的文字即可，一般不需要有周期延拓、奇延拓、偶延拓补充的数学表达式过程，直接利用公式计算系数即可写出对应的傅里叶级数. 具体参考课件中给出的例题与练习对应的参考解答推文！

【注2】 如果函数的定义区间的长度是其他小于   长度的区间，则可以参考定义区间长度为   的问题，补充定义为定义区间长度为   的函数来计算傅里叶系数，最后将傅里叶级数限定在函数本来定义的区间即可.

参考课件

【注】课件中例题与练习参考解答请参见对应的后续推文，直接点击文首的话题“无穷级数内容总结、课件、典型例题与练习”查看该章节内容列表！

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